Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C= ．
（Ⅰ）若△ABC的面積等于 ，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C= ，c2=a2+b2﹣2abcosC
∴a2+b2﹣ab=4，
又∵△ABC的面積等于 ，
∴ ，
∴ab=4
聯立方程組 ，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
當cosA=0時， ， ， ， ，求得此時
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
聯立方程組 解得 ， ．
所以△ABC的面積
綜上知△ABC的面積
【解析】（Ⅰ）先通過余弦定理求出a，b的關系式；再通過正弦定理及三角形的面積求出a，b的另一關系式，最后聯立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通過C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．當cosA=0時求出a，b的值進而通過 absinC求出三角形的面積；當cosA≠0時，由正弦定理得b=2a，聯立方程解得a，b的值進而通過 absinC求出三角形的面積．