Question

函數f(x)=sin2x--.
(1)若x∈[,],求函數f(x)的最值及對應的x的值.
(2)若不等式[f(x)-m]²<1在x∈[,]上恒成立,求實數m的取值范圍.

Answer 1

(1) 當2x-=,即x=時,f(x)_max=0,
當2x-=,即x=時,f(x)_min=-.
(2) (-1,)

【思路點撥】(1)先利用所學公式把f(x)變換成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式.利用所給x的范圍,求得最值及對應x的值.(2)利用不等式變換轉化成不等式恒成立問題求解.
解:(1)f(x)=sin 2x--
=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
∵x∈[,],∴≤2x-≤,
當2x-=,即x=時,f(x)_max=0,
當2x-=,即x=時,f(x)_min=-.
(2)方法一:∵[f(x)-m]²<1(x∈[,])?
f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),
∴m>f(x)_max-1且m<f(x)_min+1,
故m的取值范圍為(-1,).
方法二:∵[f(x)-m]²<1?m-1<f(x)<m+1,
∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,
故m的取值范圍是(-1,).