Question

如圖所示，ABCD是正方形，平面ABCD，E，F是AC，PC的中點.

（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線線平行、線線垂直、線面垂直、三棱錐的體積等數學知識，考查學生的空間想象能力、推理論證能力、轉化能力和計算能力.第一問，因為是正方形，所以對角線互相垂直，在中分別是中點，利用中位線，得，因為平面，∴平面，∴垂直面內的線，利用線面垂直的判斷，得平面，所以得證；第二問，因為平面，所以顯然是三棱錐的高，在正方形中求出的邊長及面積，從而利用等體積法將轉化為，利用三棱錐的體積公式計算.
試題解析：（1）連接，

∵是正方形，是的中點，
∴                       1分
又∵分別是的中點
∴ ∥                    2分
又∵平面， ∴平面，      3分
∵平面,  ∴                     4分
又∵  ∴平面            5分
又∵平面
故                            6分
（2）∵平面，∴是三棱錐的高，
∵是正方形，是的中點，∴是等腰直角三角形         8分
，故,                  10分
故                           12分
考點：1.中位線；2.線面垂直的判斷與性質；3.三棱錐的體積；4.等體積轉換.