【題目】如圖，在矩形
中，
，
，點
是邊
上一點，且
，點
是
的中點，將
沿著折起，使點
運動到點
處，且滿足
.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）取
的中點
，連接
，
，由
，進而
，由
，得
. 進而
平面
,進而結論可得證（2）（方法一）過
點作的平行線
交
于點
，以點為坐標原點，
所在直線分別為
軸、
軸、
軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，求得平面
平面
的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取
的中點
，上的點
，使
，連接
，得
，
，得二面角
的平面角為
，再求解即可
（1）證明：取的中點，連接，，由已知得
，所以，又點是
的中點，所以.
因為，點是線段的中點，
所以.
又因為
，所以
，從而平面，
所以
，又，不平行，
所以
平面
.
（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點
，
，
，
，
所以
，
，
.
設平面的法向量為
，
由
，得
，令
，得
.
同理，設平面
的法向量為
，
由
，得
，
令
，得
.
所以二面角的余弦值為
.
（方法二）取的中點，上的點，使，連接，易知，.
由（1）得
，所以
平面
，所以
，
又，所以
平面
，
所以二面角的平面角為.
又計算得
，
，
，
所以
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
(
)的左、右焦點分別是
，
，點
為
的上頂點，點
在上，
，且
.
（1）求的方程；
（2）已知過原點的直線
與橢圓交于
，
兩點，垂直于的直線
過且與橢圓交于
，
兩點，若
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，其長軸長是短軸長的
倍，過焦點且垂直于
軸的直線被橢圓截得的弦長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）點
是橢圓上橫坐標大于
的動點，點
在
軸上，圓
內切于
，試判斷點在何位置時
的長度最小，并證明你的判斷．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平頂山市公安局交警支隊依據《中華人民共和國道路交通安全法》第
條規定：所有主干道路凡機動車途經十字口或斑馬線，無論轉彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以
元罰款，記
分的行政處罰．如表是本市一主干路段監控設備所抓拍的
個月內，機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：
月份 |
|
|
|
|
|
違章駕駛員人數 |
|
|
|
|
|
（Ⅰ）請利用所給數據求違章人數
與月份
之間的回歸直線方程
；
（Ⅱ）預測該路段
月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數．
參考公式：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點的橢圓
和拋物線
有相同的焦點
，橢圓過點
，拋物線的頂點為原點．
求橢圓和拋物線的方程；
設點P為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
設直線PA，PB的斜率分別為
，
，求證：
為定值；
若直線AB交橢圓于C，D兩點，
，
分別是
，
的面積，試問：
是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若數列
滿足，存在實數
，對任意
，都有
，則稱數列有上界，是數列的一個上界，已知定理：單調遞增有上界的數列收斂（即極限存在）.
（1）數列
是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請說明理由；
（2）若非負數列滿足
，
（），求證：1是非負數列的一個上界，且數列的極限存在，并求其極限；
（3）若正項遞增數列無上界，證明：存在
，當
時，恒有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為定義在實數集
上的函數，把方程
稱為函數
的特征方程，特征方程的兩個實根
、
（
），稱為的特征根.
（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）已知
為給定實數，求
的表達式；
（3）把函數
，
的最大值記作
，最小值記作
，研究函數，的單調性，令
，若
恒成立，求
的取值范圍.
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