Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．

求橢圓和拋物線的方程；

設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；

若直線AB交橢圓于C，D兩點(diǎn)，，分別是，的面積，試問(wèn)：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）為，為．（2）證明見(jiàn)解析；有最小值，最小值．

【解析】

由已知列出方程組，解方程組即可求出橢圓和拋物線的方程；設(shè)，過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，由及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明為定值．由題得當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，可證當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可得，由此能求出的最小值．

解：設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為和，，

中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，

拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．

，解得，，，

橢圓的方程為，拋物線的方程為．

證明：設(shè)，過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為，

由，消去x得，

由得，，即，

．

設(shè)，

由得，，則，，

直線BA的方程為，即，

直線AB過(guò)定點(diǎn)．

以A為切點(diǎn)的切線方程為，即，

同理以B為切點(diǎn)的切線方程為，

兩條切線均過(guò)點(diǎn)，

，

則切點(diǎn)弦AB的方程為，即直線AB過(guò)定點(diǎn)

設(shè)P到直線AB的距離為d，

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，

設(shè)，，，，

由，得，時(shí)恒成立．

．

由，得，恒成立．

．

．

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，

此時(shí)，，，

．

綜上，有最小值．