Question

【題目】如圖所示，已知橢圓 過點，離心率為，左、右焦點分別為、，點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線、的斜線分別為、.

（i）證明：；

（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）（i）見解析；（ii）

【解析】

（1）利用橢圓過已知點和離心率，聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得；

（2）（i）把直線PF1、PF2的方程聯立求得交點的坐標，代入直線x+y＝2上，整理得；

（ii）設出A，B，C，D的坐標，聯立直線PF1和橢圓的方程根據韋達定理表示出xA+xB和xAxB，進而可求得直線OA，OB斜率的和與CO，OD斜率的和，由kOA+kOB+kOC+kOD＝0推斷出k1+k2＝0或k1k2＝1，分別討論求得p．

（1）∵橢圓過點，，∴，故所求橢圓方程為；

（2）（i）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分別是k1，k2，且點P不在x軸上，

所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直線PF1、PF2的方程分別為y＝k1（x+1），y＝k2（x﹣1），

聯立方程解得，所以，由于點P在直線x+y＝2上，

所以，故

（ii）設A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），聯立直線PF1和橢圓的方程得，化簡得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2＝0，

因此，所以，

同理可得：，故由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或k1k2＝1，

當k1+k2＝0時，由（1）的結論可得k2＝﹣2，解得P點的坐標為（0，2）

當k1k2＝1時，由（1）的結論可得k2＝3或k2＝﹣1（舍去），

此時直線CD的方程為y＝3（x﹣1）與x+y＝2聯立得x＝，，所以，

綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為，P（0，2）．