Question

（2012•昌平區一模）設函數f（x）的定義域為R，若存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為有界泛函．在函數①f（x）=-5x，②f（x）=sin²x，③f(x)=(

1

2

)x，④f（x）=xcosx中，屬于有界泛函的有

①②④

（填上所有正確的序號）．

Answer 1

分析：根據函數的單調性分別求出各個函數的最值，如①②④三個函數有最大值故存在這樣的M對一切實數x均成立，③這個函數沒有最值，不滿足條件．

解答：解：①|f（x）|=|-5x|=5|x|，存在這樣的M=5，對一切實數x均成立，故①是有界泛函；
②|f（x）|=|sin²x|≤1，不妨取M=2，則|f（x）|≤2對定義域內的一切實數x都成立，故②是有界泛函；
③|f（x）|=|（

1

2

）^x||≤M|x|，不存在這樣的M，對一切實數x均成立，故③不是有界泛函；
④|f（x）|=|xcosx|≤M|x|，即|cosx|≤M，當M≥1時，f（x）=xcosx是有界泛函．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了函數的概念及其構成要素，以及函數恒成立問題等知識，屬于基礎題．