Question

（2012•昌平區一模）如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=2，點M，N分別是PD，PB的中點．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）求四面體A-MBC的體積．

Answer 1

分析：（I）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，只需證明線線平行，利用三角形的中位線可得MO∥PB；
（II）證明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，即可證得；
（III）利用等體積，即VA-MBC=VM-ABC=

1

3

•S△ABC•h，從而可得結論．

解答：證明：（I）連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵點O，M分別是PD，BD的中點
∴MO∥PB，
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，點M，N分別是PD，PB的中點，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）∵VA-MBC=VM-ABC=

1

3

•S△ABC•h，h=

1

2

PA…（12分）
∴VA-MBC=

1

3

•

1

2

•AB•AD•

1

2

•PA=

2

3

．…（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是正確運用線面平行、線面垂直的判定方法，利用等體積法求體積．