Question

【題目】已知函數f（x）=（ ）x ， 其反函數為y=g（x）．
（1）若g（mx2+2x+1）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）的定義域為[n，m]，值域為[n2 ， m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=（ ）x，則其反函數為y=g（x）= =﹣log3x．

∴g（mx2+2x+1）=﹣ ，

當m≤0時，g（mx2+2x+1）的定義域不為R，舍去．

當m＞0時，g（mx2+2x+1）的定義域為R，則 ，解得m＞1．

∴實數m的取值范圍是（1，+∞）

（2）解：函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3= ﹣2a +3，

∵x∈[﹣1，1]時，令 =t∈ ，

∴y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2=u（t），對稱軸t=a．

當a 時，u（t）在t∈ 上單調遞增，∴t= 時，u（t）取得最小值u（ ）= ．

當a≥3時，u（t）在t∈ 上單調遞減，∴t=3時，u（t）取得最小值u（3）=12﹣6a．

當 ＜a＜3時，u（t）在t∈ 上單調遞減，在t∈[a，3]上單調遞增，∴t=a時，u（t）取得最小值u（a）=3﹣a2．

綜上可得：最小值h（a）=

（3）解：存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=﹣6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]，

則 ，可得：m2﹣6m+24=0，由于△=36﹣96＜0，因此上述方程無解．

于是假設不成立，

因此不存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=﹣6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]．

【解析】（1）函數f（x）=（ ）x ， 則其反函數為y=g（x）= ．可得g（mx2+2x+1）=﹣ ，當m≤0時，舍去．當m＞0時，g（mx2+2x+1）的定義域為R，可得 ，解得m即可得出．（2）函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3= ﹣2a +3，x∈[﹣1，1]時，令 =t∈ ，y=（t﹣a）2+3﹣a2=u（t），對稱軸t=a．對a與 ，3的大小分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．（3）存在實數m＞n＞3，使得函數y=h（x）=﹣6x+12的定義域為[n，m]，值域為[n2 ， m2]，可得 ，解出即可判斷出結論．