Question

【題目】已知函數f（x）為對數函數，并且它的圖象經過點（2 ， ），g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3，其中b∈R．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數y=g（x）在區間[ ，16]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=logax（a＞0且a≠1）

∵f（x）的圖象經過點 ，∴ ，即

∴ ，即a=2

∴f（x）=log2x（x＞0）

（2）解：設t=f（x）=log2x，∵ ，∴

∴ ，即

則y=g（t）=t2﹣2bt+3=（t﹣b）2+3﹣b2， ，對稱軸為t=b

①當 時，y=g（t）在 上是增函數，

②當 時，y=g（t）在 上是減函數，在（b，4]上是增函數，

③當b＞4時，y=g（t）在 上是減函數，ymin=g（4）=19﹣8b

綜上所述，

【解析】（1）設f（x）=logax（a＞0且a≠1，代值計算即可求出函數的解析式，（2）設t=f（x）=log2x則y=g（t）=（t﹣b）2+3﹣b2 ， 對稱軸為t=b，再利用對稱軸與區間的位置關系，進行分類討論，從而可求函數y=g（x）在區間[ ，16]上的最小值
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值即可以解答此題．