Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，設(shè).討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明當(dāng).

Answer 1

（1）當(dāng)時，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
（2）見解析.

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間.
由于，當(dāng)時，.
所以，討論當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，即得結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，由于導(dǎo)數(shù)，通過確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，達(dá)到解題目的.
由于，
所以令，再次利用導(dǎo)數(shù)加以研究，
當(dāng)時， 在上是減函數(shù)，
當(dāng)時， 在上是增函數(shù)，
又
得到當(dāng)時,恒有,即,
在上為減函數(shù)，由，得證.
（1），所以．        2分
當(dāng)時，，故有：
當(dāng)，即時，，；
當(dāng)，即時，，
令，得；令，得，        5分
綜上，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．  6分
（2）設(shè)，則，
令，則，               8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050452010551.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時，；在上是減函數(shù)，
當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，
又所以當(dāng)時,恒有,即,
所以在上為減函數(shù)，所以，
即當(dāng)時，.                 13分