Question

在一定面積的水域中養殖某種魚類，每個網箱的產量P是網箱個數x的一次函數，如果放置4個網箱，則每個網箱的產量為16噸；如果放置7個網箱，則每個網箱的產量為10噸，由于該水域面積限制，最多只能放置10個網箱．
（1）試問放置多少個網箱時，總產量Q最高？
（2）若魚的市場價為m萬元/噸，養殖的總成本為5lnx+1萬元．
（i）當m=0.25時，應放置多少個網箱才能使總收益y最大？
（ii）當m≥0.25時，求使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合．

Answer 1

解：（1）設p=ax+b，由已知得，∴
∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴當x=6時，f（x）最大
即放置6個網箱時，可使綜產量達到最大
（2）總收益為y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）當m=0.25時，f（x）=（-2x²+24x）×-（5lnx+1）=-x²+6x-5lnx-1
∴f′（x）=-
當1＜x＜5時，f′（x）＞0，當5＜x＜10時，f′（x）＜0，
∴x=5時，函數取得極大值，也是最大值
∴應放置5個網箱才能使總收益y最大；
（ii）當m≥0.25時，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）
∴f′（x）=
令f′（x）=0，即-4mx²+24mx-5=0
∵m≥0.25，∴△=16m（36m-5）＞0
方程-4mx²+24mx-5=0的兩根分別為，
∵m≥0.25，∴x₁≤1，5≤x₂＜6
∴當x∈（1，x₂）時，f′（x）＞0，當x₂＜x＜10時，f′（x）＜0，
∴x=x₂時，函數取得極大值，也是最大值
∴使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合為{5，6}．
分析：（1）設出一次函數，利用條件，求出函數解析式，即可求得總產量函數，再利用配方法，即可求得最大值；
（2）總收益為y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）當m=0.25時，f（x）=（-2x²+24x）×-（5lnx+1）=-x²+6x-5lnx-1，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值，即是最值；
（ii）當m≥0.25時，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1），求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值，即是最值．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數模型的構建，解題的關鍵是建立函數模型，利用導數求最值．