Question

（本小題滿分12分）
設點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知、，且.
（1）求動點C的軌跡E；
（2）若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q，且滿足，求實數的取值范圍。

Answer 1

解：（１）設點，則△ABC的重心，∵△ABC是不等邊三角形，∴
再設△ABC的外心. ∵已知，∴MN∥AB，∴.  …………2分
∵點N是△ABC的外心，∴，即
化簡整理得軌跡E的方程是                    …………4分
∴動點C的軌跡E是指焦點在軸上的標準位置的一個橢圓（去掉其頂點）  …………5分
（2）（理科）將直線方程代入軌跡E的方程，并化簡，
得                       …………6分
依題意，知，，且，
化簡，得，，且                         …………7分
設、，∵，∴，即
        …………8分
又∵，，∴，
化簡得                                        …………10分
∴，，，，
解得實數的取值范圍是或且.          …………12分

略