Question

【題目】如圖，是南北方向的一條公路，是北偏東方向的一條公路，某風景區的一段邊界為曲線．為方便游客光，擬過曲線上的某點分別修建與公路，垂直的兩條道路，，且，的造價分別為5萬元百米，40萬元百米，建立如圖所示的直角坐標系，則曲線符合函數模型，設，修建兩條道路，的總造價為萬元，題中所涉及的長度單位均為百米．

（1）求解析式；

（2）當為多少時，總造價最低？并求出最低造價．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，總造價最低，最低造價為30萬元．

【解析】

（1）求出的坐標，直線的方程，點到直線的距離，即可求解析式；

（2）利用導數的方法最低造價．

解：（1）在如圖所示的直角坐標系中，因為曲線的方程為，

所以點坐標為，

直線的方程為，

則點到直線的距離為，

又的造價為5萬元百米，的造價為40萬元百米．

則兩條道路總造價為．

（2）因為，

所以，

令，得，列表如下：

		4
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

所以當時，函數有最小值，最小值為．

答：（1）兩條道路，總造價為；

（2）當時，總造價最低，最低造價為30萬元．