Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1+1．
（1）若S_n=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，（n∈N^*），求證：當n為偶數時，S_n-2ⁿ-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差數列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對一切n∈N^*都成立？若存在，求數列{b_n}的通項公式；若不存在，則請說明理由．
（3）記T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），當n≥2時，求證：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

1+log2(an-1)

．

Answer 1

分析：（1）利用二項式定理、二項式系數的性質化簡S_n 為3ⁿ+2ⁿ，設n=2k，k∈z₊，則S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1，用數學歸納法證明它能被64整除．
（2）分別令n=1、2、3 求出b₁ =1，b₂ =2，b₃=3，若存在等差數列{b_n}，則 b_n =n，由C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =
2^n-1 成立，可得C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 對一切n∈N^*都成立，故卻是存在等差數列{b_n}，滿足條件．
（3）要證的不等式即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

，用數學歸納法和放縮法證明此不等式成立．

解答：（1）證明：由已知得，S_n =a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=（1+1）C_n⁰+（2+1）C_n¹+（2²+1）C_n²+…+（2ⁿ）C_nⁿ
=（C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（1+2）ⁿ+2ⁿ=3ⁿ+2ⁿ．
當n為偶數時，設n=2k，k∈z₊，則S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1．
當k=1時，9^k-8k-1=0，顯然能被64整除．
假設 9^m-8m-1 能被64整除m為正整數，則n=m+1時，9^k-8k-1=99^m-8m-8-1=9（9^m-8m-1 ）+64m，
由假設知，9（9^m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1時，9^m-8m-1仍能被64整除．
綜上可得當n為偶數時，S_n-2ⁿ-4n-1 能被64整除．
（2）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對一切n∈N^*都成立，a_n=2^n-1+1，
故當n=1時，有 b₁ =a₁ -1=1，
當n=2時，有 2 b₁ +b₂ =2（a₂ -1）=4，∴b₂ =2．
當n=3時，有  3b₁ +3b₂+b₃=3（a₃-1），即 3+6+b₃=3×4，∴b₃=3．
若存在等差數列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對一切n∈N^*都成立，則應有b_n =n．
由二項式定理可得 C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =2^n-1 成立，
故有n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，即C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 對一切n∈N^*都成立，
故存在等差數列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對一切n∈N^*都成立，此時，b_n =n．
（3）T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），
由題意可得

1

1+log2(an-1)

=

1

1+(n-1)

=

1

n

，∴3-

1

1+log2(an-1)

=3-

1

n

．
要證的不等式即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

．
當n=2時，不等式的左邊等于 （1+

1

1

）（1+

1

4

）=

5

2

，右邊等于3-

1

2

=

5

2

，不等式成立．
假設n=k時，不等式成立，即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tk

）≤3-

1

k

，
則n=k+1時，不等式的左邊等于：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tk

）（1+

1

Tk+1

）≤（3-

1

k

）（1+

1

Tk+1

）
≤（3-

1

k

）（1+

1

k+1

）=3+

-4

3(k+1)

＜3-

3

3(k+1)

=3-

1

(k+1)

=右邊，
故n=k+1時，（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

也成立．
綜上可得：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

1+log2(an-1)

成立．

點評：本題主要考查用裂項法對數列進行求和，用數學歸納法證明等式和不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，屬于難題．