Question

下列關于函數f（x）=（2x-x²）e^x的判斷正確的是（　　）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}，f（x）＜0的解集是{x|x＜0或x＞2}．
②f(-

2

)是極小值，f(

2

)是極大值．
③f（x）沒有最小值，也沒有最大值．
④f（x）有最大值，沒有最小值．

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④

Answer 1

分析：令f（x）＞0可解x的范圍，令f（x）＜0可解x的范圍，可確定①正確；對函數f（x）進行求導，然后令f'（x）=0求出x，在根據f'（x）的正負判斷原函數的單調性進而可確定②正確；根據函數的單調性可判斷極大值即是原函數的最大值，無最小值，從而確定③④的真假，從而得到答案．

解答：解：由f（x）＞0⇒（2x-x²）e^x＞0⇒2x-x²＞0⇒0＜x＜2，
由f（x）＜0⇒（2x-x²）e^x＜0⇒2x-x²＜0⇒x＜0或x＞2故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，
由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調減區間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）單調增區間為（-

2

，

2

）．
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故②正確．
∵x＜-

2

時，f（x）＜0恒成立，x→+∞時，f（x）→-∞，
∴f（x）無最小值，
而f（x）的單調減區間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）單調增區間為（-

2

，

2

）且x＜-

2

時，f（x）＜0．
∴f（x）有最大值f（

2

）
∴f（x）沒有最小值，也沒有最大值不正確，即③不正確，
f（x）有最大值f（

2

），但無最小值，故④正確．
故選D

點評：本題主要考查了函數的極值與其導函數關系，以及利用導數求函數的最值，屬于中檔題．