Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表．f（x）的導函數y=f'（x）的圖象如圖所示． x -1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 下列關于函數f（x）的命題： ①函數f（x）在[0，1]上是減函數； ②如果當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4； ③函數y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2； ④已知（a，b）是y= 2012 f(x) 的一個單調遞減區間，則b-a的最大值為2． 其中真命題的個數是（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：由導數圖象可知，函數的單調性，故可判斷①；結合表格中幾個特殊點的函數值，結合函數的單調性，分析t取不同值時，函數的最大值變化情況，可判斷②；結合表格中幾個特殊點的函數值，結合函數的單調性，分析函數的極值，分析可判斷③；根據f（x）的單調性，分析出y=

2012

f(x)

的單調性，進而求出b-a的最大值．

解答：解：由導數圖象可知，
當-1＜x＜0或1＜x＜4時，f'（x）＞0，函數單調遞增，
當0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數單調遞減，所以①正確；
當x=0和x=4，函數取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為5，故②不正確；
由f（-1）=f（5）=1，結合函數的單調性，
可得若y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2，故③正確；
∵y=

2012

f(x)

的單調性與y=f（x）的單調性相反，
結合y=

2012

f(x)

的定義域為[-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故y=

2012

f(x)

在（-1，0），（a，2），（2，4）上為減函數，
故（a，b）是y=

2012

f(x)

的一個單調遞減區間，則b-a的最大值為2，故④正確
故四個命題中有3個為真命題
故選B

點評：本題考查導數知識的運用，考查導函數與原函數圖象之間的關系，正確運用導函數圖象是關鍵．