Question

【題目】（1）求函數在的最大值；

（2）證明：函數在有兩個極值點，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求出函數在上的單調性即可；

（2）首先利用導數求出的單調性，即可得到，然后分別證明，，，然后即可證明.

（1），則在上單調遞增，

又，

所以在有唯一的零點.

當時，單調遞減；

時，單調遞增.

又，

所以在的最大值為.

（2），

則當時，單調遞增，

又，

所以在有唯一的零點，

此時，時，；時，，

所以是極小值點，不妨令.

當時，，所以；

當，設.

由（1）知， 有唯一的零點，

則時，單調遞減，即單調遞減；

時，單調遞增，即單調遞增

又，

所以在有唯一的零點，

此時時，；時，，

所以是極大值點，即，

所以在有兩個極值點，其中，，

且，由于，所以.

因為，，

所以，即.

又，所以，同理，

所以. .