Question

已知定義在R上的函數是奇函數
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并用單調性定義證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴，
解得b=1，（1分）
∴，
∴
∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1對一切實數x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴，
f（x）在R上是減函數．（4分）
證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則
=-，
∵x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的減函數，
∴t-2t²＜k（10分）
∴對t∈R恒成立，
∴．（12分）
分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．
（2），f（x）在R上是減函數．證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，=-，由此能夠證明f（x）在R上是減函數．
（3）不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，等價于f（t-2t²）＞f（k），由f（x）是R上的減函數，知t-2t²＜k，由此能求出實數k的取值范圍．
點評：本題考查函數恒成立問題的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．