Question

（2008•和平區三模）已知半徑為1的圓的圓心在雙曲線y2-

x2

2

=1上，當圓心到直線x-2y=0的距離最小時，該圓的方程為（　　）

• A．(x+

  2

  )2+(y+

  2

  )2=1或(x-

  2

  )2+(y-

  2

  )2=1
• B．(x+2

  2

  )2+(y+

  2

  )2=1
• C．(x-2

  2

  )2+(y+

  2

  )2=1
• D．(x-

  2

  )2+(y+

  2

  )2=1或(x+

  2

  )2+(y-

  2

  )2=1

Answer 1

分析：求出與直線x-2y=0平行且與雙曲線相切的切點即為所求的圓心即可．

解答：解：設所求的圓心為（m，n），則n2-

m2

2

=1，
設與直線x-2y=0平行且與雙曲線相切的直線為x-2y=t，（此時得到的切點即為所求的圓心滿足條件）．
聯立

x-2y=t y2- x2 2 =1

，化為2y²+4ty+t²+2=0，（*）
令△=16t²-8（t²+2）=0，解得t=±

2

．
把t=±

2

代入（*）可得2y2±4

2

y+4=0，解得y=±

2

．
當y=

2

時，x=

2

；當y=-

2

時，x=-

2

．
故所求的圓的方程為
(x+

2

)2+(y+

2

)2=1或(x-

2

)2+(y-

2

)2=1．
故選A．

點評：正確理解求出與直線x-2y=0平行且與雙曲線相切的切點即為所求的圓心是解題的關鍵．