Question

（2008•和平區三模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求滿足S_n＜167的最大正整數n．

Answer 1

分析：（ I）根據S_n=2a_n-2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，可得數列{a_n}是等比數列；利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得數列{b_n}是等差數列，故可求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（ II）利用錯位相減法求和，利用S_n＜167，建立不等式，從而可求滿足條件S_n＜167最大的正整數．

解答：解：（ I）∵S_n=2a_n-2，∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2（n≥2），即數列{a_n}是等比數列．
∵S_n=2a_n-2，∴當n=1時，a₁=2，∴an=2n                               …（3分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2
即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1     …（6分）
（ II）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ ①（7分）
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-S_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹②…（9分）
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6（10分）
∵S_n＜167，即（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜167
于是（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜161（11分）
又由于當n=4時，（2n-3）•2ⁿ⁺¹=160
當n=5時，（2n-3）•2ⁿ⁺¹=448（13分）
故滿足條件S_n＜167最大的正整數n為4（14分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，解題的關鍵是根據數列通項的特點選擇合適的求和方法．