Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.

(1)當a＝0時，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；

(2)當m＝2時，若函數k(x)＝f(x)－h(x)在區間(1,3)上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：(1) 可將問題轉化為時， 恒成立問題。令，先求導，導數大于0得原函數的增區間，導數小于0得原函數的減區間，根據單調性可求最小值。只需即可。(2)可將問題轉化為方程,在上恰有兩個相異實根，令。同(1)一樣用導數求函數的單調性然后再求其極值和端點處函數值。比較極值和端點處函數值得大小，畫函數草圖由數形結合分析可知直線應與函數的圖像有2個交點。從而可列出關于的方程。

試題解析：

解：(1)由， 可得1分

，即，記，

則在上恒成立等價于. 3分

求得

當時, ;

當時, .

故在處取得極小值，也是最小值，即，故.

所以，實數的取值范圍為5分

(2)函數在上恰有兩個不同的零點

等價于方程,在上恰有兩個相異實根． 6分

令，則.

當時， ；

當時， ，

∴在上是單調遞減函數，在上是單調遞增 8分

函數．故，

又， ，

∵，∴只需，

故a的取值范圍是． 10分