Question

【題目】數(shù)列中，，.

（1）求證：存在的一次函數(shù)，使得成公比為2的等比數(shù)列；

（2）求的通項(xiàng)公式；

（3）令，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)滿足條件，由于成公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的定義，得出，利用待定系數(shù)法求出和，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）知是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，即可求出的通項(xiàng)公式；

（3）先求出，要證，即證，根據(jù)放縮法得出，當(dāng)時(shí)，，再利用裂項(xiàng)相消法求和，即可證明不等式.

解：（1）證明：設(shè)滿足條件，

由于成公比為2的等比數(shù)列，

則，

即，

由，得，

解得：，，，

存在，使成公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）知是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，

則，.

（3）證明：，即，

要證，即證，

當(dāng)時(shí)，，

，

即，

所以，

即.