Question

【題目】如圖橢圓的離心率為， 其左頂點在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個交點為，與圓的另一個交點為.是否存在直線，使得？ 若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由頂點在圓上可得，再根據離心率公式可得的值，結合的關系，可求出的值，然后得到所求的方程

聯立直線與橢圓方程求出，然后求得圓心到直線的距離，運用圓的弦長公式可得，化簡整理，即可判斷是否存在

（1）因為橢圓的左頂點在圓上，所以.

又離心率為，所以，所以,

所以, 所以的方程為.

（2）（i）設點，顯然直線存在斜率，

設直線的方程為， 與橢圓方程聯立得,

化簡得到，

因為為上面方程的一個根，所以，

所以 , 所以

圓心到直線的距離為， .

因為，

代入得到.

因為 所以 .