Question

【題目】已知橢圓C1： 的離心率為 ，且經過點M 的直徑C1的長軸．如圖，C是橢圓短軸端點，動直線AB過點C且與圓C2交于A，B兩點，CD垂直于AB交橢圓于點D．

（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C1： 的離心率為 ，

∴ ，∴a=2k，b=k，k＞0，

∴ ，

∵橢圓C1經過點M ， ），

∴ ，解得k2=1，

∴橢圓C1的方程為 ．

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

由題意知直線l1的斜率存在，設直線l1的方程為y=kx+1，

又圓C2：x2+y2=4，

∴點O到直線l1的距離d= ，

∴|AB|=2 =2 ，

又∵l1⊥l2，∴直線l2的方程為x+ky﹣k=0．

由 ，消去y，得：

（4+k2）x2+8kx=0，

∴ ，

∴|CD|= ，

設△ABD的面積為S，則S= = ，

∴S=

≤ = ，

當且僅當k= 時取等號，

∴所求的直線l1的方程為 ．

【解析】（1）由已知條件得 ，所以設橢圓方程為 ，再由橢圓C1經過點M ， ），能求出橢圓C1的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x0 ， y0），設直線l1的方程為y=kx+1，又圓C2：x2+y2=4，求出點O到直線l1的距離和|AB|，求出直線l2的方程為x+ky﹣k=0．由此能求出直線l1的方程．