Question

設三次函數，在處取得極值，其圖像在處的切線的斜率為。

（1）求證：；

（2）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；

（3）問是否存在實數（是與無關的常數），當時，恒有恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析：（1），由題設，得     ①

    ②

∵

由①代入②得

得    ③

將代入中，得    ④

由③.④得；      …………5分

（1）       由（1）知， 

∴方程的判別式有兩個不等實根，

又，∴

∴當或時，，當時，

∴函數的單調區間是，∴，

由知。

∵函數在區間[s，t]上單調遞增，∴[s，t]，

∴，即的取值范圍是，    …………10分

（2）       由，即

∵，令，

要使在上恒成立，

只需   即  ，∴或

由題意，得

∴存在實數k滿足條件，即k的最小值為。     …………14分