Question

設三次函數在x＝1處取得極值，其圖象在x＝m處的切線的斜率為－3a．

(1)求證：；

(2)若函數y＝f(x)在區間[s，t]上單調遞增，求的取值范圍；

(3)問是否存在實數k(k是與a，b，c，d無關的常數)，當x≥k時，恒有恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題設，得① 　　② 　　∵ 　　由①代入②得， 　　得∴或③ 　　將c＝－3a－2b代入a＜b＜c中，得④ 　　由③、④得； 　　(2)由(1)知，的判別式： 　　∴方程有兩個不等的實根x1，x2，又 　　∴，∴當x＜x2或x＞x1時，， 　　當x2＜x＜x1時，，∴函數y＝f(x)的單調增區間是[x1，x2] 　　∴，由知 　　∵函數y＝f(x)在區間[s，t]上單調遞增，∴ 　　∴，即的取值范圍是； 　　(3)由，即， 　　∵，∴ 　　∴或．由題意，得 　　∴，∴存在實數k滿足條件，即k的最小值為．

提示：

分析：本題主要考查導數的幾何意義，導數的應用，二次函數的圖象和性質，不等式的解法與證明等基本知識；考查數形結合、等價轉化等數學思想方法；考查學生應用知識分析問題解決問題的能力． 　　說明：三次函數是導數應用的熱點問題，《考試大綱》對導數和函數都有較高的要求，又有“在知識交匯點設計試題”作后盾，跟其它數學知識綜合的試題應運而生，解答這類問題的關鍵在于靈活地運用函數與方程、數形結合、分類討論、等價轉換等數學思想方法來分析．