Question

【題目】已知函數．

（）若，求在處的切線方程．

（）求在區間上的最小值．

（）若在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）．（）見解析．（）

【解析】試題分析：（1）把a=2代入可得， ，進而可得方程，化為一般式即可；

（2）可得x=為函數的臨界點，分≤1，1＜＜e， ，三種情形來討論，可得最值；

（3）由（2）可知當0＜a≤1或a≥e2時，不合題意，當1＜a＜e2時，需，解之可得a的范圍．

試題解析：（）當時， ， ，

∴， ，

∴在處的切線方程為，即．

（）．

由于及定義域為，所以令得．

①若，即，則時， ， 在上單調遞增，

∴在區間上的最小值為．

②若，即，則時， ， 單調遞減，當時， ， 單調遞增，

∴在區間上的最小值為．

③若，即，則時， ， 在上單調遞減，

∴在區間上的最小值為．

綜上所述，當時， ；

當時， ；

當時， ．

（）由（）可知當或時， 在上是單調遞增或遞減函數，不可能存在兩個零點．

當，要使在區間上恰有兩個零點，則

，即，故．

所以， 的取值范圍為