Question

【題目】記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若 ，對(duì)任意，均有是公差為的等差數(shù)列，求使為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合；

（3）記，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】【試題分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，將，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)， ，依據(jù)定義可知數(shù)列是等差數(shù)列；（2）依據(jù)題設(shè)條件“任意的都是公差為，的等差數(shù)列”求出，然后建立等式，分析探求出滿足條件，當(dāng)時(shí)不滿足，進(jìn)而求出正整數(shù)的取值集合為；（3）先依據(jù)題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式。證明時(shí)運(yùn)用了做差比較的方法進(jìn)行推證，進(jìn)而證得 ，使得不等式或獲證。

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，從而，所以當(dāng)時(shí)， ，即數(shù)列是等差數(shù)列.

（2）因?yàn)榈娜我獾?/span>都是公差為，的等差數(shù)列，所以是公差為，的等差數(shù)列，又，所以，所以，顯然， 滿足條件，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)的取值集合為.

（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，即數(shù)列是公比大于，首項(xiàng)大于的等比數(shù)列，記公比為.以下證明： ，其中為正整數(shù)，且，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>為減函數(shù)， ，所以，所以，綜上， ，其中

，即.