Question

【題目】對于定義在上的函數，若存在正常數，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數”。在以下四個函數中：①②③④是“控制增長函數”的有（空格上填入函數代碼）________.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

假設各函數為“控制增長函數”，根據定義推導f（x+a）≤f（x）+b恒成立的條件，判斷a，b的存在性逐項判斷即可得出答案．

對于①，f（x+a）≤f（x）+b可化為：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，

即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x對一切x∈R均成立，

由函數的定義域為R，故不存在滿足條件的正常數a、b，故f（x）＝x2+x+1不是“控制增長函數”；

對于②，若f（x）是“控制增長函數”，則f（x+a）≤f（x）+b可化為：b，

∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，

∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴，顯然當a＜b2時式子恒成立，

∴f（x）是“控制增長函數”；

對于③，∵﹣1≤f（x）＝sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，

∴當b≥2時，a為任意正數，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）＝sin（x2）是“控制增長函數”；

對于④，若f（x）＝xsinx是“控制增長函數”，則（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，

∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，

∴f（x）＝xsinx是“控制增長函數”．

故答案為：②③④