Question

【題目】已知函數，.

（1）若在區間內單調遞增，求的取值范圍；

（2）若在區間內存在極大值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意得在區間內恒成立，即在區間內恒成立，構造函數，利用導數求出最小值即可得到結果；（2）構造函數，則，由此可得出函數的單調區間，利用零點存在性定理可得函數的零點所在區間：和，則可得函數的單調性，從而得到極大值，結合條件和基本不等式即可證明結論.

（1）由題意得在區間內恒成立，

即在區間內恒成立，

令，則.

當時，，在區間內單調遞減；

當時，，在區間內單調遞增，故，

所以，所以的取值范圍為；

（2）由（1）知當時，在區間內單調遞增，則不存在極大值.

當時，，.

，令，則.

令，則，

則易知函數在區間內單調遞減，在區間內單調遞增.

又，，

（易證明），

故存在，使得，

存在，使得，

則當時，；當時；當時，，

故在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，

所以當時，取得極大值，即.

由，得，，

由，得，

故，所以.