Question

【題目】如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M是的中點，是的中點，點在上，且滿足.

（1）證明：.

（2）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.

（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點的位置.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷，即；（2）設出平面ABC的一個法向量，我們易表達出，然后利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的值，進而求出此時的正線值；（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對值為，代入向量夾角公式，可以構造一個關于的方程，解方程即可求出對應值，進而確定出滿足條件的點P的位置．

（1）證明：如圖，以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標系．

則，，，

從而，，

，

所以．

（2）平面ABC的一個法向量為，

則（※）．

而，當最大時，最大，無意義，除外，

由（※）式，當時，，．

（3）平面ABC的一個法向量為．

設平面PMN的一個法向量為，

由（1）得．

由得，

解得，令，得，

∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為，

∴，

解得．

故點P在的延長線上，且．