Question

【題目】已知無窮數列的各項都不為零，其前n項和為，且滿足，數列滿足，其中t為正整數．

求；

若不等式對任意都成立，求首項的取值范圍；

若首項是正整數，則數列中的任意一項是否總可以表示為數列中的其他兩項之積？若是，請給出一種表示方式；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) 數列中的任意一項總可以表示為數列中的其他兩項之積.理由見解析.

【解析】

分析：（1）令，則，即，可得．又由與的關系可得，從而數列是首項為，公差為1的等差數列，由此可得．（2）由可得數列是首項為，公差為1的等差數列；數列是首項為，公差為1的等差數列，由此可得然后由題意討論可得．（3）由（2）得數列的各項都是正整數．假設結論成立，即，即，所以，取，取，故，不妨設是偶數，則一定是整數，討論可得不論為奇數還是偶數，上式都有解，即假設成立．

詳解：（1）令，則，即，

又，

所以；

由，得，

兩式相減得，

又，

故，

所以．

（2）由（1）知數列是首項為，公差為1的等差數列；

數列是首項為，公差為1的等差數列．

故

所以

①當時奇數時，，

即，

即對任意正奇數恒成立，

所以，

解得．

②當時偶數時，，

即，即對任意正偶數恒成立，

所以，

解得．

綜合①②得．

（3）由數列是首項為1，公差為1的等差數列；數列是首項為正整數，公差為1的等差數列知，數列的各項都是正整數．

設，即，

所以，

取，取，

故，

不妨設是偶數，則一定是整數，

故當是偶數時，方程的一組解是

當是奇數時，方程的一組解是

所以數列中的任意一項總可以表示為數列中的其他兩項之積．