Question

【題目】已知函數.

（1）當，求證；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）將代入函數解析式，之后對函數求導，得到其單調性，從而求得其最小值為，從而證得結果.

（2）通過時，時，利用函數的單調性結合函數的零點，列出不等式即可求解的取值范圍，也可以構造新函數，結合函數圖象的走向得到結果.

（1）證明：當時，，

得，

知在遞減，在遞增，

，

綜上知，當時，.

（2）法1：，，即，

令，則，

知在遞增，在遞減，注意到，

當時，；當時，，

且，

由函數有個零點，

即直線與函數圖像有兩個交點，得.

法2：由得，，

當時，，知在上遞減，不滿足題意；

當時，，知在遞減，在遞增.

，

的零點個數為，即，

綜上，若函數有兩個零點，則.