Question

【題目】已知，為拋物線上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，且，滿足，.

（1）證明：線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)；

（2）若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，可直接算得，再用表示，列出線段的垂直平分線的方程，再找到此方程經(jīng)過的定點(diǎn)；（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式判斷參數(shù)的取值范圍，再列出的關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出面積的最大值。

解：（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意，，

則，，

因?yàn)?/span>.

所以線段的垂直平分線的方程是，

即.

所以線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn).

（2）直線和拋物線方程聯(lián)立得

，，

解得.

由題意可得.

，

定點(diǎn)到線段的距離，

所以，

令，.

，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為.

綜上，.