Question

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=,

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的正弦值.

Answer 1

解：(1)因為AD、AB、AS是三條兩兩互相垂直的線段，故以A為原點，以AD、AB、AS的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標系，則A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1),=(,0,0)是平面SAB的法向量.設面SCD的法向量n=(1，λ，μ),則n·=(1，λ，μ)·(,1,0)=+λ=0,∴λ=-.

n·=(1,λ,μ)·(-,0,1)=-+μ=0,

∴μ=.

∴n=(1,-,).

如以θ表示欲求的二面角，則cos〈,n〉,

∴cosθ

∴tanθ=

∴面SCD與面SBA所成二面角的正切值為

(2)∵是平面ABCD的法向量，先求與之間的夾角φ.

∵

∴

∴又∵該夾角與直線SC與平面ABCD所成的角互余,

∴所求正弦值為.