Question

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD?，SA=AB=BC=1，AD=.

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值.

Answer 1

解：(1)因為AD、AB、AS是三條兩兩互相垂直的線段，故以A為原點，以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標系，則A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1), =(,0,0)是平面SAB的法向量.設面SCD的法向量n=(1，λ，μ),則n=(1，λ，μ)  (,1,0)=+λ=0,∴λ=-.?

n=(1,λ,μ)  (- ,0,1)=- +μ=0,

∴μ=.

∴n=(1,-, ).?

如以θ表示欲求二面角的值，則cosθ=cos〈,n〉,?

n=(,0,0)  (1,- ,)=,||=,

n==,?

∴cosθ===,sinθ=.?

∴tanθ===.?

∴面SCD與面SBA所成二面角的正切值為.?

(2)∵是平面ABCD的法向量，先求與之間的夾角φ.?

∵=++,?

∴= (++)==1,?

||=1,?

||===,?

∴cosφ===.

∴所求余弦值為.

點評：對于(2)也可借助坐標計算線面角.像棱沒有給出的二面角大小計算問題，用向量法解答十分方便.