Question

已知數(shù)列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（I）寫出數(shù)列{a_n}的一個遞推關系式；
（II）證明：{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（III）證明{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I） 由程序框圖可直接得到a _n+2=4 a_n+1-4a_n
（Ⅱ）將a _n+2=4 a_n+1-4a_n移向變形得出a_n+1-2a_n =2（a _n+1-2a_n），從而可證{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-2a_n=-2 ^n-1 兩邊同除以2ⁿ⁺¹變形構(gòu)造出

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

4

，從而可解決．

解答：解：（I） 由程序框圖可知，數(shù)列{an}的一個遞推關系式
a₁=1，a₂=1，a _n+2=4 a_n+1-4a_n
（II）由a_n+1-2a_n =2（a _n+1-2a_n），且a₂-2a₁=-1
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是以-1為首項，2為公比的等比數(shù)列
（III） 由（II）有a_n+1-2a_n=-2 ^n-1
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

⁼

1

4

^，又

a2

21

⁼

1

2

^{∴_{l數(shù)列}}{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以-

1

4

為公差的等差數(shù)列
∴

an

2n

=

1

2

+ (-

1

4

)(n-1)，
∴a_n=(

3-n

4

)•2n

點評：本題考查程序框圖知識，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及判定．考查轉(zhuǎn)化、計算、分析解決問題的能力．