Question

【題目】已知函數f（x）a2x（k∈R，a＞0，e為自然對數的底數），且曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為e2﹣a2．

（1）求實數k的值，并討論函數f（x）的單調性；

（2）設函數g（x），若對x1∈（0，+∞），x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＝2，見解析（2）0＜a．

【解析】

（1）求出，由已知求出，，求出的范圍，即可得出結論；

（2）對x1∈（0，+∞），x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，轉化為由（1）求出，用導數法求出，即可求解.

（1），f'（1），

得，故k＝2，a＞0，所以＝e2x﹣a2＝e2x﹣e2lna，

當x∈（﹣∞，lna）時，＜0，f（x）遞減；

當x∈（lna，+∞）時，，f（x）遞增；

單調遞減區間是，單調遞增區間是

（2）根據（1）當x∈R時，f（x）有最小值為

f（lna），

g（x），

，x∈（0，+∞），

令h（x）＝x2ex+lnx，顯然函數在（0，+∞）單調遞增，

由h（），h（1）＞0，

故h（x）在（，1）存在唯一的零點m，使得h（m）＝0，

即m2em+lnm＝0，當x∈（0，m）時，g（x）遞減；

x∈（m，+∞）時，g（x）遞增；

故g（m）為g（x）的最小值，

g（m）﹣1

，

對于y與h（m）都單調遞增，

且當時，0成立，

所以g（m）﹣1＝0，

根據題意，0，即，

故a，故0＜a．