Question

（2009•閔行區二模）（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，點E在棱AB上移動．
（1）探求AE等于何值時，直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角；
（2）點E移動為棱AB中點時，求點E到平面A₁DC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）解法一：先找到直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，放入直角三角形中，根據角的大小為45°，來求三角形中邊之間的關系，即可求出AE長度．
解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標系，求出

D1E

坐標，以及平面AA₁D₁D的法向量的坐標，因為直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角，所以

D1E

與平面AA₁D₁D的法向量成45°角，再用向量的數量積公式即可求出

D1E

坐標，進而判斷E點位置．
（2）利用空間向量的知識，點到平面的距離可用公式d=

| n • DE |

| n |

來求，其中

n

為平面的法向量，

DE

為E點到平面上任意一點的向量．

解答：解：（1）解法一：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因為點E在棱AB上移動，所以EA⊥平面AA₁D₁D，從而∠ED₁A為直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，
Rt△ED₁A中，∠ED₁A=45°⇒AE=AD1=

2

．
解法二：以D為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點D₁（0，0，1），平面AA₁D₁D的法向量為

DC

=(0，2，0)，設E（1，y，0），得

D1E

=(1，y，-1)，
由

D1E • DC

| D1E || DC |

=sin

π

4

，得y=

2

，
故AE=

2

（2）以D為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點E（1，1，0），A₁（1，0，1），
C₁（0，2，1），
從而

DA1

=(1，0，1)，

DC1

=(0，2，1)，

DE

=(1，1，0)
設平面DA₁C₁的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n • DA1 =0 n • DC1 =0

⇒

x+z=0 2y+z=0

令

n

=(-1，-

1

2

，1)，
所以點E到平面A₁DC₁的距離為d=

| n • DE |

| n |

=1．

點評：本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點到平面的距離．屬于立體幾何的常規題．