Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a（a＞0）
（Ⅰ）若{a_n}是等差數列，a₂•a₃=6，求a的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若{a_n}是等比數列，且公比不為1，證明數列{a_n+1}不是等比數列．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則可得d=a-1，進而可得a₃，代入已知可得a的方程，解方程可得a值，可得通項公式；
（2）設等比數列{a_n}的公比為q，q≠1，則q=a，a_n=a^n-1，假設數列{a_n+1}是等比數列，可得（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1），代入后推矛盾即可．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則d=a₂-a₁=a-1，
∴a₃=a₂+d=2a-1，∴a₂•a₃=a（2a-1）=6，
解得a=2，或a=-

3

2

（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n；
（2）設等比數列{a_n}的公比為q，q≠1，
則q=a，a_n=a^n-1，
假設數列{a_n+1}是等比數列，
則（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1）
∴（aⁿ+1）²=（a^n-1+1）（aⁿ⁺¹+1）
展開化簡可得2aⁿ=a^n-1+aⁿ⁺¹，
同除以a^n-1可得a²-2a+1=0，解得a=1，
可得q=1，這與q≠1矛盾，
∴數列{a_n+1}不是等比數列

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式和性質，涉及反證法的應用，屬中檔題．