【題目】已知橢圓
的兩個焦點為
，離心率為
．
(1)求橢圓
的方程；
(2)設點
是橢圓
的右頂點，過點
的直線與橢圓
交于
， 
兩點，直線
， 
與直線
分別交于
， 
兩點．求證：點
在以
為直徑的圓上．
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）由題意，設橢圓方程為
，
則
，解出
，即可得到橢圓
的方程；
（ 2）由（1）可得
. 考慮直線
不存在斜率時，可得
.
在以
為直徑的圓上. 當直線
存在斜率時，設
方程為
， 
、
.
由
可得
. 直線
方程為
，得
, 同理， 
. 求出
，可證
.即
在以
為直徑的圓上.
試題解析：
（1）由題意，設橢圓方程為
，
則
得
所以橢圓方程為
（2）證明：由（Ⅰ）可得
.
當直線
不存在斜率時，可得
直線
方程為
，令
得
,
同理，得
.
所以
,
得
.
所以
,
在以
為直徑的圓上.
當直線
存在斜率時，設
方程為
， 
、
.
由
可得
.
顯然
,
,
直線
方程為
，得
,
同理， 
.
所以
.
因為
所以
所以
所以
, 
在以
為直徑的圓上.
綜上， 
在以
為直徑的圓上.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列{
}的前n項和Sn=2-2．
（1）求數列{}的通項公式；
（2）若bn=log
，Sn=b1+b2+…+bn，對任意正整數n，Sn+（n+m）
＜0恒成立，試求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，過點
的直線與拋物線相交于
兩點，與拋物線的準線相交于點
， 
，則
與
的面積之比
__________．
【答案】
【解析】
由題意可得拋物線的焦點
的坐標為
，準線方程為
。
如圖，設
，過A,B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E,N，則
，解得
。
把
代入拋物線
，解得
。
∴直線AB經過點
與點
，
故直線AB的方程為
，代入拋物線方程解得
。
∴
。
在
中， 
，
∴
∴
。答案： 
點睛：
在解決與拋物線有關的問題時，要注意拋物線的定義在解題中的應用。拋物線定義有兩種用途：一是當已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準線的距離為d，則|MF|＝d，可解決有關距離、最值、弦長等問題；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線．
【題型】填空題
【結束】
17
【題目】已知
三個內角
所對的邊分別是
，若
.
（1）求角
；
（2）若
的外接圓半徑為2，求
周長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
:
的左、右焦點分別為
、
，若橢圓過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
為橢圓的左、右頂點， 
（
）為橢圓上一動點，設直線
分別交直線
： 
于點
，判斷線段
為直徑的圓是否經過定點，若是，求出該定點坐標；若不恒過定點，說明理由.
【答案】(1) 
；(2)答案見解析.
【解析】試題分析：（1）將點坐標代人橢圓方程 并與離心率聯立方程組，解得
， 
（2）根據點斜式得直線
方程，與直線
聯立解得點
坐標，根據向量關系得
為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進行化簡，并根據恒等式成立條件求定點坐標.
試題解析：(1)由已知
，
∴
①
∵橢圓過點
，
∴
②
聯立①②得
， 
∴橢圓方程為
（2）設
，已知
∵
，∴
∴
都有斜率
∴
∴
③
∵
∴
④
將④代入③得
設
方程
∴
方程
∴
由對稱性可知，若存在定點，則該定點必在
軸上，設該定點為
則
∴
∴
，∴
∴存在定點
或
以線段
為直徑的圓恒過該定點.
點睛：定點的探索與證明問題
(1)探索直線過定點時，可設出直線方程為
，然后利用條件建立
等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．
(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關．
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
，曲線
在
處的切線經過點
.
（1）證明： 
；
（2）若當
時， 
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（1）據圖估計該校學生每周平均體育運動時間．并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數；
（2）規定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優秀”，否則為“非優秀”，在樣本數據中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列
列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優秀”與年級有關”．
基礎年級 | 高三 | 合計 | |
優秀 | |||
非優秀 | |||
合計 | 300 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附：K2
，n＝a+b+c+d．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四邊形BB1C1C為正方形，設AB1的中點為D，B1C∩BC1=E.
求證：（1）DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥平面AB1C.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統計計算后填入下表，某同學根據表中數據分析得出的結論正確的是（ ）
班級 | 參加人數 | 中位數 | 方差 | 平均數 |
甲 | 55 | 149 | 191 | 135 |
乙 | 55 | 151 | 110 | 135 |
A.甲、乙兩班學生成績的平均數相同
B.甲班的成績波動比乙班的成績波動大
C.乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數（每分鐘輸入漢字數≥150個為優秀）
D.甲班成績的眾數小于乙班成績的眾數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：極坐標與參數方程
在平面直角坐標系
中，將曲線
(
為參數) 上任意一點
經過伸縮變換
后得到曲線
的圖形．以坐標原點
為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（Ⅰ）求曲線
和直線
的普通方程；
（Ⅱ）點P為曲線
上的任意一點，求點P到直線
的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．
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