Question

【題目】已知函數.

（1）若在上是減函數，求的取值范圍；

（2）設，，若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由題意結合函數單調性的定義得到關于a的表達式，結合指數函數的性質確定的取值范圍即可；

(2)利用換元法將原問題轉化為二次方程根的分布問題，然后求解實數的取值范圍即可.

（1）由題設，若在上是減函數，

則任取，，且，都有，即成立.

∵

.

又在上是增函數，且，

∴由，得，

即，且.

∴只須，解.

由，，且，知，

∴，即，

∴.

所以在上是減函數，實數的取值范圍是.

（2）由題知方程有且只有一個實數根，

令，則關于的方程有且只有一個正根.

若，則，不符合題意，舍去；

若，則方程兩根異號或有兩個相等的正根.

方程兩根異號等價于解得；

方程有兩個相等的正根等價于解得；

綜上所述，實數的取值范圍為.