Question

【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客，統計其乘車等待時間（指乘客從進站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40分鐘）．將統計數據按分組，制成頻率分布直方圖：

假設乘客乘車等待時間相互獨立．

(1)在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機抽取1人，記為；從乙站的乘客中隨機抽取1人，記為.用頻率估計概率，求“乘客,乘車等待時間都小于20分鐘”的概率；

(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人，表示乘車等待時間小于20分鐘的人數，用頻率估計概率，求隨機變量的分布列與數學期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）根據頻率分布直方圖分別計算出兩個乘客等待時間小于分鐘的頻率，按照相互獨立事件概率計算公式，計算出“乘客,乘車等待時間都小于20分鐘”的概率.（II）根據二項分布概率計算公式以及數學期望計算公式，求得的分布列和數學期望.

解：（Ⅰ）設表示事件“乘客乘車等待時間小于20分鐘”，表示事件“乘客乘車等待時間小于20分鐘”，表示事件“乘客乘車等待時間都小于20分鐘”．

由題意知，乘客乘車等待時間小于20分鐘的頻率為

，故的估計值為．

乘客乘車等待時間小于20分鐘的頻率為

，故的估計值為．

又.

故事件的概率為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘車等待時間小于20分鐘的頻率為，

所以乙站乘客乘車等待時間小于20分鐘的概率為.

顯然，的可能取值為且.

所以；；

；.

故隨機變量的分布列為

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