Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，．

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點，使得直線平面若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上存在點，使得平面，且．

【解析】

（I）根據面面垂直的性質定理，證得平面，由此證得.（II）以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量和平面的法向量，由此計算出線面角的正弦值.（III）設,用表示出點的坐標，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判斷存在符合題意的點.

解：（Ⅰ）證明：因為為正方形，

所以．

又因為平面平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．

因為，所以兩兩垂直．

分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，，

所以，

所以．

設平面的一個法向量為，

則 即

令，則，

所以．

設直線與平面所成角為，

則．

（Ⅲ）設，

設，則，

所以，所以，

所以．

設平面的一個法向量為，則

因為，所以

令，則，所以．

在線段上存在點，使得平面等價于存在，使得．

因為，由，

所以，

解得，

所以線段上存在點，使得平面，且．