Question

（理科）如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=

4 2

3

，|CD|=2-

4 2

3

，AC⊥BD，M為CD的中點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ₀，使

MP

=λ₀

PN

，且P點到A、B 的距離和為定值，
（3）過（0，

1

2

）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0，求此直線方程．求點P的軌跡E的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

），利用AC⊥BD，即

AC

•

BD

=0，可得軌跡方程；
（2）確定P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點），要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+

1

(1+λ0)2

=

8

9

，從而可得所求P的軌跡方程；
（3）易知l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx+

1

2

代入橢圓方程，利用

OP

•

OQ

=0，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

）
∵A（0，

2 2

3

），B（0，-

2 2

3

），AC⊥BD
∴

AC

•

BD

=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）設(shè)P（x，y），則M（（1+λ₀）x，y），代入M的軌跡方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
∴P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點）．
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+

1

(1+λ0)2

=

8

9

，
∴λ₀=2 
從而所求P的軌跡方程為9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx+

1

2

，代入橢圓方程可得（9+k²）x²+kx-

3

4

=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

k

9+k2

，x₁x₂=-

3

4(9+k2)

∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得

-3(k2+1)

4(9+k2)

-

k2

2(9++k2)

+

1

4

=0
∴k=±

6

2

即所求l的方程為y=±

6

2

x+

1

2

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．