Question

（理科）如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=，|CD|=2-，AC⊥BD，M為CD的中點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數λ₀，使=λ₀，且P點到A、B 的距離和為定值，
（3）過（0，）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，且•=0，求此直線方程．求點P的軌跡E的方程．

Answer 1

解：（1）設點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+），D（x，y+1-）
∵A（0，），B（0，-），AC⊥BD
∴，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）設P（x，y），則M（（1+λ₀）x，y），代入M的軌跡方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
∴P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點）．
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+=，
∴λ₀=2
從而所求P的軌跡方程為9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，設方程為y=kx+，代入橢圓方程可得（9+k²）x²+kx-=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-
∵•=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得
∴k=±
即所求l的方程為
分析：（1）設點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+），D（x，y+1-），利用AC⊥BD，即，可得軌跡方程；
（2）確定P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點），要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+=，從而可得所求P的軌跡方程；
（3）易知l的斜率存在，設方程為y=kx+代入橢圓方程，利用•=0，即可求得結論．
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．