Question

(14分) (理科)如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，

M為CD的中點.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數，

使，且P點到A、B 的距離和為定值，

求點P的軌跡E的方程；

（3）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點，且，求此直線方程.

Answer 1

(14分) (理科)解：（1）設點M的坐標為M(x, y)(x≠0)，則

又 由AC⊥BD有，

即，∴x²+y²=1（x≠0）.   ……………………… 4分

（2）設P（x, y），則，代入M的軌跡方程有

即，∴P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點）.

要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故

∴  從而所求P的軌跡方程為9x²+y²=1(x≠0).  ………………… 8分

（3）易知l的斜率存在，設方程為

聯立9x²+y²=1，有

設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)，則.

∵，而

∴. 整理，得 

 ∴  即所求l的方程為……………………… 14分