Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足向量 。

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過F1，問是否存在過F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的直線，斜率.

【解析】

（1）由上頂點(diǎn)為B和 ，可以判斷出為等腰直角三角形，可以得，又右頂點(diǎn)為A，可以求出，利用，可以求出，最后求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）由（1）可知，利用，可以得出，橢圓方程可以表示成，由已知線段PB為直徑的圓經(jīng)過,設(shè)的坐標(biāo)為，可知,得出一個(gè)等式，而為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，又得到一個(gè)等式，通過兩個(gè)等式可以求出的坐標(biāo)，也就可以求出圓心坐標(biāo)和半徑。假設(shè)存在過F2的直線與該圓相切，通過圓心到切線等于半徑，列出等式，如果能求出，就說明存在，求不出，就說明不存在。

（1）易知，因?yàn)?/span>，

所以為等腰直角三角形，

所以b=c，由可知，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由已知得，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>,所以，

由題意得,所以，

又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以,由以上兩式可得，

因?yàn)?/span>不是橢圓的頂點(diǎn)，所以，故，

設(shè)圓心為，則，

圓的半徑

假設(shè)存在過的直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為，

由相切可知,所以 ，

即，解得

故存在滿足條件的直線。