Question

【題目】已知函數f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且在公共定義域{x|x∈R且x≠±1}上滿足f（x）+g（x）= ．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）設h（x）=f（x）﹣g（x），求h（ ）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f（x）+g（x）= ，①

f（﹣x）+g（﹣x）= ，即﹣f（x）+g（x）=﹣ ，②

由①②聯立解得f（x）= ，g（x）=

（2）解：h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，

∴h（ ）= =

（3）解：∵h（x）+h（ ）= =1，

∴h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）

=[h（2）+h（ ）]+[h（3）+h（ ）]+…+h（2016）+h（ ）]

=2015

【解析】（1）由f（x）+g（x）= ，得﹣f（x）+g（x）=﹣ ，聯立方程組能求出f（x），g（x）．（2）由h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，能求出h（ ）．（3）由h（x）+h（ ）= =1，能求出h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）的值．
【考點精析】利用函數奇偶性的性質和函數的值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．